Значение слова интеграл
Интеграл в словаре кроссвордиста
интегралинтеграл — одно из важнейших понятий математического анализа, которое возникает при решении задач о нахождении площади под кривой, пройденного пути при неравномерном движении, массы неоднородного тела, и тому подобных, а также в задаче о восстановлении функции по её производной ("неопределённый интеграл").
интегралм.Целая величина, рассматриваемая как сумма своих бесконечно малых частей ( в математике ) .
интеграл( лат. integer целый) лет.
1) неопределенный и. от данной функции - функция, производная от которой совпадает с данной функцией, иначе - функция, получающаяся в результате действия, обратного дифференцированию;
2) определенный и. от данной функции - площадь под графиком этой функции;
3) целая величина, рассматриваемая как сумма своих бесконечно малых частей.
интегралм. Целая величина, рассматриваемая как сумма своих бесконечно малых частей.
интегралмуж. , мат. , лат. конечная, измеримая величина, в отношении к бесконечно малой части ее, к дифференциалу. Интегральное вычисление, искусство отыскивать интеграл по дифференциалу. Интегрировать, вычислять, находить интеграл; интеграция жен. действие это.
интеграл[лет.
1. неопределенный и. от данной функции - функция, производная от которой совпадает с данной функцией, иначе - функция, получающаяся в результате действия, обратного дифференцированию;
2. определенный и. от данной функции - площадь под графиком этой функции;
3. целая величина, рассматриваемая как сумма своих бесконечно малых частей.
интегралинтегр`ал, -а
интегралВ математике: величина, получающаяся в результате действия, обратного дифференцированию
интеграл(от лат. integer - целый), см. Интегральное исчисление.
интегралинтеграл м. Целая величина, рассматриваемая как сумма своих бесконечно малых частей.
интегралинтеграла, м. (от латин. integer – целый) (мат.). Конечная измеримая величина в отношении к бесконечно малой части ее – к диференциалу.
интеграл(от лат. integer - целый), одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны, отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой - измерять площади, объёмы, длины дуг, работу сил за определённый промежуток времени и т. п. Соответственно с этим различают неопределенные и определённые И., вычисление которых является задачей интегрального исчисления .Неопределённый интеграл. Первообразная функции f ( x ) одного действительного переменного - функция F ( x ), производная которой при каждом значении х равна f ( x ). Прибавляя постоянную к первообразной какой-либо функции, вновь получают первообразную той же функции. Следовательно, имея одну первообразную F ( x ) функции f ( x ), получают общее выражение всех первообразных этой функции в виде F ( x )+ С. Это общее выражение первообразных называют неопределённым интегралом:функции f ( x ). Одна из основных теорем интегрального исчисления устанавливает, что каждая непрерывная функция f ( x ) действительного переменного имеет неопределённый И. Определённый интеграл . Определённый И. функции f ( x ) с нижним пределом а и верхним пределом b можно определить как разностьгде F ( x ) есть первообразная функции f ( x ); определение не зависит от того, какая из первообразных выбрана для вычисления определённого И. Если функция f ( x ) непрерывна, то приведённое определение в случае a < b равносильно следующему определению, данному О. Коши (
1823): рассматривают произвольное разбиение отрезка [ a , b ] точкамив каждом отрезке [x i- 1, xi ] ( i 1, 2,. .. , n ) берут произвольную точку x i ( xi- 1 £ x i £ xi ) и образуют суммуСумма Sn зависит от выбора точек xi и x i . Однако в случае непрерывной функции f ( x ) суммы Sn , получающиеся при различном выборе точек xi и x i , стремятся к вполне определённому пределу, если максимальная из разностей xi - xi- 1стремится к нулю при n - ¥. Этот предел и является определённым интеграломПо определению,Определённый И., как указано выше, выражается через любую первообразную F ( x ). Обратно, первообразная F ( x ) может быть записана в видегде а - произвольная постоянная. В соответствии с этим неопределенный И. записывается в видеО возникновении понятия И., а также о свойствах неопределенных и определённых И. см. Интегральное исчисление . Обобщение понятия интеграла Интеграл Римана . О. Коши применял своё определение И. только к непрерывным функциям. Назвать, по определению, интеграломпредел сумм Sn при max ( xi - xi-
1) - 0 во всех тех случаях, когда этот предел однозначно определён, предложил Б. Риман (
1853). Он же исследовал условия применимости такого определения. Более совершенную форму этим условиям придал А. Лебег (
1902), пользуясь введённым им понятием меры множества (см. Меры теория ). Для интегрируемости в смысле Римана функции f ( x ) на [ a, b ] является необходимой и достаточной совокупность двух условий: f ( x )ограничена на [ а, b ], множество помещающихся на [ a , b ] точек разрыва функции f ( x ) имеет меру, равную нулю. Таким образом, непрерывность в каждой точке отрезка [ а , b ] совсем не обязательна для интегрируемости по Риману. Неопределённый И. и первообразную можно теперь определять формулами (
5) и (
4). Следует только заметить, что при этом первообразная F ( x ) не обязана иметь подинтегральную функцию f ( x ) своей производной в каждой точке. Но в каждой точке непрерывности f ( x ), т. е., в силу результата Лебега, всюду, кроме, может быть, множества меры, равной нулю, будетГ. Дарбу (
1879) дал определение интеграла Римана, которое делает особенно наглядными условиями существования такого И. Вместо сумм (
3) Дарбу вводит суммы (называемые суммами Дарбу) где Mk - верхняя грань функции f ( x ) на отрезке [ xk- 1, xk ], а mk - нижняя грань f ( x ) на том же отрезке. Если нижняя грань сумм , а - верхняя грань сумм , то для существования интеграла Римана необходимо и достаточно условие Общее значение величин и и является интегралом Римана (
6). Сами величины и называются верхним и, соответственно, нижним интегралами Дарбу. Интеграл Лебега. Введённое Лебегом понятие меры множества позволило дать значительно более широкое определение И. Чтобы определить И. (
6), Лебег делит точками ... < y -2 < y -1 < y 0 < y -1 < ... < yi < ... область возможных значений переменного у f ( x ) и обозначает Mi множество тех точек х из отрезка [ a, b ], для которых yi- 1 £ f ( x ) < yi. Сумма S определяется равенством S S i h i m( Mi ), где h i берётся из отрезка y i- 1 £ h i < yi , а m( Mi ) обозначает меру множества Mi. Функция f ( x ) называется интегрируемой в смысле Лебега на отрезке [ a , b ], если ряды, определяющие суммы S , абсолютно сходятся при max( yi - y i-
1) - 0 . Предел этих сумм и называется интегралом Лебега (
6). Можно определить первообразную в смысле Лебега как функцию F ( x ), удовлетворяющую равенству (
4), где И. в правой части понимается по Лебегу. Как и в случае интеграла Римана, равенство (
7) будет при этом выполняться во всех точках, кроме, может быть, множества, имеющего меру, равную нулю. Для интегрируемости по Лебегу ограниченной функции f ( x ) необходимо и достаточно, чтобы она принадлежала к числу измеримых функций в смысле Лебега. Все функции, встречающиеся в математическом анализе, измеримы в этом смысле. Более того, до настоящего времени (
1972) не построено ни одного индивидуального примера неизмеримой функции. Таким образом, для случая ограниченных функций Лебег решил задачу определения интеграла (
6) с общностью, исчерпывающей потребности математического анализа. Среди функций, интегрируемых по Лебегу, имеется сколько угодно функций, всюду разрывных и, следовательно, неинтегрируемых по Риману. Наоборот, каждая интегрируемая по Риману функция интегрируема и по Лебегу. Определение Лебега обобщается на случай интегрирования по полупрямой и по полной прямой, т. е. на случай И. видаПосле этого обобщения теория Лебега охватывает все случаи абсолютно сходящихся несобственных интегралов .Общность, достигнутая в определении Лебега, весьма существенна во многих вопросах математического анализа; например, только с введением интеграла Лебега могла быть установлена теорема Фишера - Риса в теории тригонометрических рядов, в силу которой любой ряддля которогопредставляет функцию f ( x ), порождающую коэффициенты an и bn по формулам где И. понимаются в смысле Лебега. Интеграл Стилтьеса. В конце 19 в. определение интеграла Римана подверглось совершенно иному обобщению, чем то, к которому привело введение понятия меры множества. Это обобщение было дано Т. Стилтьесом (
1894). Пусть f ( x ) - непрерывная функция действительного переменного х , определённая на отрезке [ a , b ], и U ( x ) - определённая на том же отрезке ограниченная монотонная (неубывающая или невозрастающая) функция. Для определения интеграла Стилтьеса берут произвольное разбиение (
2) отрезка [ a , b ] и составляют сумму f (x
1) [ U ( x
1) - U ( x
0)] + f (x
2) [ U ( x
2) - U ( x
1)] +...+ f (x n ) [ U ( xn ) - U ( xn-
1)],(
8) где x1, x2, ..., x n - произвольные точки, выбранные соответственно на отрезках [ x 0, x 1], [ x 1, x 2], ..., [ xn -1, xn ]. Пусть d - наибольшее расстояние между двумя последовательными точками деления в разбиении (
2). Если взять любую последовательность разбиений, для которой d стремится к нулю, то сумма (
8) будет иметь определённый, всегда один и тот же предел, как бы ни выбирались точки x1, x2, ..., x n на соответствующих отрезках. Этот предел называют, следуя Стилтьесу, интегралом функции f ( x ) относительно функции U ( x ) и обозначают символомИнтеграл (
9) (его называют также интегралом Стилтьеса) существует и в том случае, когда ограниченная функция U ( x ), не будучи сама монотонной, может быть представлена в виде суммы или разности двух ограниченных монотонных функций U 1( x ) и U 2( x ): U ( x ) U 1( x ) - U 2( x ), т. е. является функцией с ограниченным изменением (см. Изменение функции ). Если интегрирующая функция U ( х ) имеет ограниченную и интегрируемую по Риману производную U' ( x ), то интеграл Стилтьеса сводится к интегралу Римана по формулеВ частности, когда U ( x ) х + С , интеграл Стилтьеса (
9) превращается в обыкновенный интеграл Римана (
6). Дальнейшие обобщения. Концепции И., созданные Стилтьесом и Лебегом, удалось впоследствии объединить и обобщить на интегрирование по любому (измеримому) множеству в пространстве любого числа измерений. Классические кратные интегралы вполне охватываются этим подходом. Потребности таких дисциплин, как теория вероятностей и общая теория динамическим систем, привели к ещё более широкому понятию абстрактного интеграла Лебега, основанному на общих понятиях меры множества и измеримости функций. Пусть Х - пространство, в котором выделена определённая система В его подмножеств, называемых 'измеримыми', причём эта система обладает свойствами замкнутости по отношению к обычным теоретико-множественным операциям, выполняемым в конечном или счётном числе. Пусть m - конечная мера, заданная на В. Для В -измеримой функции у f ( x ), х Î Х , принимающей конечное или счётное число значений y 1, y 2, ..., yn , ..., соответственно на попарно непересекающихся множествах A 1, ..., Аn , ..., сумма которых есть X , интеграл функции f ( x ) по мере m, обозначаемый , определяется как сумма рядав предположении, что этот ряд абсолютно сходится. Для других f интегрируемость и И. определяются путём некоторого естественного предельного перехода от указанных кусочно постоянных функций. Пусть А - измеримое множество и j А ( х ) 1 для х , принадлежащих А , и j А ( х ) 0 для х, не принадлежащих А . Тогда интеграл от f ( x ) по множеству А определяют, полагаяПри фиксированных m и А И. в зависимости от f может рассматриваться как линейный функционал ; при фиксированном f И., как функция множества А , есть счётно аддитивная функция. Следует отметить, что, несмотря на кажущуюся отвлечённость, это общее понятие И. в наибольшей степени подходит для определения такого понятия, как математическое ожидание (в теории вероятностей), и даже для общей формулировки задачи проверки статистических гипотез. И. по отношению к так называемой мере Винера и различным её аналогам используют в статистической физике (здесь в качестве Х фигурирует пространство непрерывных на каком-либо отрезке функций). Упоминавшиеся до сих пор обобщения понятия И. были такими, что f и | f | оказывались интегрируемыми или неинтегрируемыми одновременно. Обобщения первоначального понятия И. в другом направлении относятся к функциям одного переменного, но зато дают много больше в исследовании интегрирования неограниченных функций. Ещё Коши в случае функции f ( x ), неограниченной в точке х с , определил интеграл , когда a < c < b , как предел выражения , при e1 - 0 и e2 - 0 . Аналогично И. с бесконечными пределамиопределяется как предел И. , при а - - ¥ и b - + ¥. Если при этом не требуется интегрируемости | f ( x )|, т. е. f ( x ) интегрируема 'не абсолютно', то это определение Коши не поглощается лебеговским. Ещё более широкое обобщение понятия И. в этом направлении было предложено А. Данжуа (
1912) и А. Я. Хинчиным (
1915).Лит.: Лебег А., Интегрирование и отыскание примитивных функций, пер. с франц., М.-Л., 1934; Сакс С., Теория интеграла, пер. с англ., М., 1949; Камке Э., Интеграл Лебега - Стилтьеса, пер. с нем., М., 1959; Уитни Х., Геометрическая теория интегрирования, пер. с англ., М., 1960; Рудин У., Основы математического анализа, пер. с англ., М., 1966; Данфорд Н., Шварц Дж. Т., Линейные операторы. Общая теория, пер. с англ., М., 1962; Невё Ж., Математические основы теории вероятностей, пер. с франц., М., 1969; Federer Н., Geometric measure theory, В. - Hdlb. - N. Y.,
1969. Под редакцией академика А. Н. Колмогорова.
интегралинтеграл, -а
интегралвеличина, рассматриваемая как сумма своих бесконечно малых частей
Тьфу-тьфу, только бы не сглазить… Интеграл этот… Да пусть он треснет, интеграл этот — дальше поехали, дальше!
Оказывается, при самых общих предположениях относительно потенциальной функции мои уравнения движения имеют еще один интеграл — кроме интеграла энергии и интегралов моментов.
Оказывается, при самых общих предположениях относительно потенциальной функции, мои уравнения движения имеют еще один интеграл, кроме интеграла энергии и интегралов моментов.
Наконец, значки положительной и отрицательной бесконечности сверху и снизу интеграла (математики называют такой интеграл несобственным) символизируют бесконечный мир, в котором человек и его сердце подвергаются воздействию множества космических процессов.
Но Краснов им не верил: ни студенты, ни профессор не знали, какое великое применение получит этот интеграл, если его удастся взять; все думали, что это лишь искусственно подобранная функция для упражнений в интегральном исчислении, и, когда задача показалась им не в меру трудной, спокойно ее оставили.
Интеллектуальная авантюра I–IIИнтеллектуальная авантюра I Истоки бытияИнтеграл: Надо быть живым и умнымИнтеллект не обслуживает потребности,он создает интеллектуальный продукт.Движение целого в целом в точке координатора посредством нуль-перехода – интеграл всего, что я могу сказать про человека.
Он нормировал функцию бытия и доказал, что интеграл обобщенной причинности не расходится, а сходится.
И уже после первых же пробных расчетов я пришел к убеждению, что данный интеграл относится как раз к разряду невычислимых, то есть таких, для которых время их вычисления при повышении точности результата, скажем, в два раза возрастает в большее количество раз.
Я находил себе оправдание в том, что Вселенная должна быть устроена разумным образом, должна описываться законченными и внутренне непротиворечивыми теориями, а потому сама логика вещей подсказывает, что злосчастный интеграл должен иметь именно такую, необходимую мне величину.
Транслитерация: integral
Задом наперед читается как: ларгетни
Интеграл состоит из 8 букв